第8章 十的替代品

对于我们人类而言，10 是一个非常重要的数字。10 是我们大多数人拥有的手指或脚趾的数目，当然我们也希望所有人的手指和脚趾都是 10 个。因为手指非常便于计数，于是我们人类已经适应了这个以 10 为基数的数字系统。

就如前面章节中所提到的，我们现在所用的数字系统是基于 10 的数字系统的，或称为十进制。我们已经非常习惯这个数字系统了，因此起初也很难再构想出其他的数字系统。的确，当我们看到数字 10 的时候，我们不自觉地就会想到这个数字代表了下面这么多只鸭子：

但是，数字 10 之所以指的是这么多只鸭子，其唯一理由就在于这些鸭子的数目与我们的手指数目相同。如果人类的手指不是 10 根，我们数数的方式就会有所不同，那么 10 就会是另外一个含义。同样，数字 10 可以代表这么多只鸭子：

或者是这么多只的鸭子：

甚至可以是这么多只的鸭子：

当我们认识到，10 可以表示两只鸭子，我们就可以解释开关、导线、灯泡和继电器（进一步推广到计算机）是如何表示数字的了。

如果人类像卡通人物那样每只手有 4 根手指会怎样呢？我们可能就不会想到建立一个以 10 为基数的数字系统。相反我们会自然而然地、不可避免地想到建立一个以 8 为基数的数字系统。我们就不会称这个系统为十进制数字系统，而称之为八进制数字系统。

如果我们的数字系统是以 8 为基础而建立的，我们就不需要如下这个符号：

将这个符号给卡通人物看的话，你会得到这样的反应：“这是什么？它代表什么？”如果继续仔细考虑一下，你会发现我们连这样的一个符号也不会需要：

在十进制中，10 没有特定的符号，因此在八进制中，同样也没有表示 8 的特定符号。十进制中我们的计数方式是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，然后是 10。在八进制中数字系统中计数方式是：0、1、2、3、4、5、6、7，而后是什么呢？我们已经将符号用完了。在这里唯一有意义的只有 10，而在这里的正确答案恰恰就是 10。在八进制中，7 之后的下一个数字是 10。但是这个“10”代表的并不是人类手指的数量。在八进制中，“10”代表的是卡通人物手指的数量。

如果继续用脚趾数下去的话，就是这样：

使用非十进制的数字系统时，你可以将“10”读作“一零”，这样可以避免一些混淆。类似地，“13”读作“一三”，“20”读作“二零”。要想真正避免混淆，可以将“20”读作“基于8的数二零”或“八进制二零”。

尽管已经用完了所有的手指和脚趾，但我们仍能够用八进制继续数下去。这与十进制基本相同，但是我们跳过了数字8和9。当然，相同数字所代表的数量是不同的：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 43,
44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64,
65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100…

这里最后一个数字我们读做“一零零”。这是卡通人物手指的数量自身相乘所得的结果。

当书写十进制和八进制数时，我们可以利用下标标注来区别不同数字系统，避免混淆。下标TEN表示十进制，EIGHT表示八进制。

当书写十进制和八进制数时，我们可以利用下标标注来区别不同数字系统，避免混淆。下标 $\text{TEN}$ 表示十进制，$\text{EIGHT}$ 表示八进制。

这样，白雪公主遇到的小矮人数量是 $7_{\text{TEN}}$ 或 $7_{\text{EIGHT}}$；

卡通人物的手指数是 $8_{\text{TEN}}$ 或 ${10}_{\text{EIGHT}}$；

正常人类的手指数是 ${10}_{\text{TEN}}$ 或 ${12}_{\text{EIGHT}}$；

贝多芬所写的交响曲的数目是 $9_{\text{TEN}}$ 或 ${11}_{\text{EIGHT}}$；

人类手指的数量是 ${10}_{\text{TEN}}$ 或 ${12}_{\text{EIGHT}}$；

一年中的月份数是 ${12}_{\text{TEN}}$ 或 ${14}_{\text{EIGHT}}$；

两个星期的天数是 ${14}_{\text{TEN}}$ 或 ${16}_{\text{EIGHT}}$；

“情人”的生日庆祝会是 ${16}_{\text{TEN}}$ 或 ${20}_{\text{EIGHT}}$；

一天中的小时数是 ${24}_{\text{TEN}}$ 或 ${30}_{\text{EIGHT}}$；

拉丁字母表中的字母数是 ${26}_{\text{TEN}}$ 或 ${32}_{\text{EIGHT}}$；

一夸脱的液体相当于的盎司数是 ${32}_{\text{TEN}}$ 或 ${40}_{\text{EIGHT}}$；

一副纸牌的张数是 ${52}_{\text{TEN}}$ 或 ${64}_{\text{EIGHT}}$；

棋盘的格数是 ${64}_{\text{TEN}}$ 或 ${100}_{\text{EIGHT}}$；

日落大道上最有名的地址是 ${77}_{\text{TEN}}$ 或 ${115}_{\text{EIGHT}}$；

美式足球场地的面积是 ${100}_{\text{TEN}}$ 或 ${144}_{\text{EIGHT}}$；

温网首届女子单打的初赛人数是 ${128}_{\text{TEN}}$ 或 ${200}_{\text{EIGHT}}$；

孟菲斯市的面积是 ${256}_{\text{TEN}}$ 或 ${400}_{\text{EIGHT}}$。

注意，在上面一系列的八进制数中出现了几个好整数（nice round number），如 ${100}_{\text{EIGHT}}$、${200}_{\text{EIGHT}}$ 和 ${400}_{\text{EIGHT}}$。根据规定，在十进制中，好整数通常是指结尾有若干个零的数。在结尾有两个零的十进制数代表的是 ${100}_{\text{TEN}}$，而 ${100}_{\text{TEN}}$ 表示 ${10}_{\text{TEN}}$ 乘以 ${10}_{\text{TEN}}$。在八进制数中，结尾有两个零代表是 ${100}_{\text{EIGHT}}$，而 ${100}_{\text{EIGHT}}$ 表示 ${10}_{\text{EIGHT}}$ 乘以 ${10}_{\text{EIGHT}}$（或 $8_{\text{TEN}}$ 乘以 $8_{\text{TEN}}$，即 ${64}_{\text{TEN}}$）。

你可能还会注意到，这些好整数 ${100}_{\text{EIGHT}}$、${200}_{\text{EIGHT}}$ 和 ${400}_{\text{EIGHT}}$ 在十进制中分别与 ${64}_{\text{TEN}}$、${128}_{\text{TEN}}$ 和 ${256}_{\text{TEN}}$ 相等，它们全是 2 的整数次幂。

这是非常有意义的。例如，${400}_{\text{EIGHT}}$ 等于 $4_{\text{EIGHT}}$ 乘以 ${10}_{\text{EIGHT}}$ 乘以 ${10}_{\text{EIGHT}}$，而这里所有的数都是 2 的整数次幂。任何 2 的整数次幂乘以 2 的整数次幂的结果依然是 2 的整数次幂。

下表给出了一些2的整数次幂的十进制及其对应的八进制的表示形式。

$$\begin{array}{|ccc|}\hline \mathbf{\text{Power of Two}}& \mathbf{\text{Decimal}}& \mathbf{\text{Octal}}\\ 2^0& 1& 1\\ 2^1& 2& 2\\ 2^2& 4& 4\\ 2^3& 8& 10\\ 2^4& 16& 20\\ 2^5& 32& 40\\ 2^6& 64& 100\\ 2^7& 128& 200\\ 2^8& 256& 400\\ 2^9& 512& 1000\\ 2^{10}& 1024& 2000\\ 2^{11}& 2048& 4000\\ 2^{12}& 4096& 10000\\ \hline\end{array}$$

最右列的好整数暗示我们，十进制以外的数字系统可能对使用二进制码有所帮助。

在结构上，八进制数字系统与十进制数字系统并没有什么不同。它们只是在细节上存在一些差异。例如，八进制数中的每个位所代表的值是该位数字乘以8的整数次幂的结果。

这样，一个八进制数 ${3725}_{\text{EIGHT}}$ 可以分解成如下形式：

$${3725}_{\text{EIGHT}}={3000}_{\text{EIGHT}}+{700}_{\text{EIGHT}}+{20}_{\text{EIGHT}}+5_{\text{EIGHT}}$$

同样还可以写成若干种不同的形式，下面是利用十进制的8的整数次幂写出的一种形式：

$$\begin{array}{rl}{3725}_{\text{EIGHT}}=& 3\times {512}_{\text{TEN}}+\\ & 7\times {64}_{\text{TEN}}+\\ & 2\times 8_{\text{TEN}}+\\ & 5\times 1\end{array}$$

采用八进制形式的8的整数次幂，表现形式如下：

$$\begin{array}{rl}{3725}_{\text{EIGHT}}=& 3\times {1000}_{\text{EIGHT}}+\\ & 7\times {100}_{\text{EIGHT}}+\\ & 2\times {10}_{\text{EIGHT}}+\\ & 5\times 1\end{array}$$

还有一种拆分形式：

$$\begin{array}{rl}{3725}_{\text{EIGHT}}=& 3\times 8^3+\\ & 7\times 8^2+\\ & 2\times 8^1+\\ & 5\times 8^0\end{array}$$

如果用十进制数计算出结果，会得到 ${2005}_{\text{TEN}}$。这就是将八进制数转化为十进制数的方法。

我们可以像进行十进制数的加法和乘法那样，对八进制数进行加法或乘法运算。不同的是，我们要采用不同的表来对各个数位进行乘法或加法运算。下面是八进制数的加法表。

$$\begin{array}{|ccccccccc|}\hline \mathbf{+}& \mathbf{0}& \mathbf{1}& \mathbf{2}& \mathbf{3}& \mathbf{4}& \mathbf{5}& \mathbf{6}& \mathbf{7}\\ \mathbf{0}& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \mathbf{1}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 10\\ \mathbf{2}& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 10& 11\\ \mathbf{3}& 3& 4& 5& 6& 7& 10& 11& 12\\ \mathbf{4}& 4& 5& 6& 7& 10& 11& 12& 13\\ \mathbf{5}& 5& 6& 7& 10& 11& 12& 13& 14\\ \mathbf{6}& 6& 7& 10& 11& 12& 13& 14& 15\\ \mathbf{7}& 7& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16\\ \hline\end{array}$$

例如，$5_{\text{EIGHT}}+7_{\text{EIGHT}}={14}_{\text{EIGHT}}$。我们可以将两个更长的八进制数按照与十进制相同的方法相加：

首先要从最右的一列开始，5加3等于10，结果为0，进位1；1加3加4等于10，结果为0，进位1；1加1加6等于10。

同样，在八进制中，2乘以2结果依然为4。但是3乘以3却不等于9。那是多少呢？在这里，3乘以3结果是 ${11}_{\text{EIGHT}}$，其与 $9_{\text{TEN}}$ 所代表的数量相等。下面为八进制乘法的乘法表。

$$\begin{array}{|ccccccccc|}\hline \times & \mathbf{0}& \mathbf{1}& \mathbf{2}& \mathbf{3}& \mathbf{4}& \mathbf{5}& \mathbf{6}& \mathbf{7}\\ \mathbf{0}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \mathbf{1}& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \mathbf{2}& 0& 2& 4& 6& 10& 12& 14& 16\\ \mathbf{3}& 0& 3& 6& 11& 14& 17& 22& 25\\ \mathbf{4}& 0& 4& 10& 14& 20& 24& 30& 34\\ \mathbf{5}& 0& 5& 12& 17& 24& 31& 36& 43\\ \mathbf{6}& 0& 6& 14& 22& 30& 36& 44& 52\\ \mathbf{7}& 0& 7& 16& 25& 34& 43& 52& 61\\ \hline\end{array}$$

在这里，4 × 6等于 ${30}_{\text{EIGHT}}$，而 ${30}_{\text{EIGHT}}$ 与 ${24}_{\text{TEN}}$ 等价，也就是与十进制中的 4 × 6 相等。

八进制数字系统与十进制数字系统一样，都是有效的。但是让我们更进一步来看，既然已经为卡通人物开发了一套数字系统，就让我们再制订一套适合龙虾的数字系统吧。实际上龙虾根本没有手指，但是在它们前爪的末端都有螯。适用于龙虾的数字系统是以4为基数的四进制（quaternary）数字系统。

四进制数字系统是像这样计数的：0，1，2，3，10，11，12，13，20，21，22，23，30，31，32，33，100，101，102，103，110，等等。

这里我不打算在四进制数上花太多的时间，因为接下来我们即将转入一个更为重要的话题。通过下图我们可以看出四进制中每一位是如何跟4的某个整数次幂相对应的。

四进制数 $31232$ 可以写做如下形式：

$$\begin{array}{rl}{31232}_{\text{FOUR}}=& 3\times {256}_{\text{TEN}}+\\ & 1\times {64}_{\text{TEN}}+\\ & 2\times {16}_{\text{TEN}}+\\ & 3\times 4_{\text{TEN}}+\\ & 2\times 1\end{array}$$

等价于：

$$\begin{array}{rl}{31232}_{\text{FOUR}}=& 3\times {10000}_{\text{FOUR}}+\\ & 1\times {1000}_{\text{FOUR}}+\\ & 2\times {100}_{\text{FOUR}}+\\ & 3\times {10}_{\text{FOUR}}+\\ & 2\times 1\end{array}$$

同样可以写成：

$$\begin{array}{rl}{31232}_{\text{FOUR}}=& 3\times 4^4+\\ & 1\times 4^3+\\ & 2\times 4^2+\\ & 3\times 4^1+\\ & 2\times 4^0\end{array}$$

如果以十进制数的形式计算其结果，我们会发现 ${31232}_{\text{FOUR}}$ 等价于 ${878}_{\text{TEN}}$。

现在，我们要做一个跳跃并且是最远的一跳。如果我们是海豚，那么就必须用两个鳍来计数。这个数字系统称为以 2 为基数的数字系统，或二进制。这样的话我们似乎只有两个数字了，这两个数分别为 0 和 1。

0和1现在已不是我们要处理的全部问题了，而我们还需要练习一下才能习惯使用二进制数。二进制数最大的问题是数字用完得很快。例如，下图就是海豚如何用它的鳍来计数的例子。

是的，在二进制中，1 的下一个数字是 10。这让人惊讶，但也并不是什么意外。无论使用哪种计数系统，当单个的数字用完时，第一个两位数就是 10。二进制系统这样计数的：

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100,
1101, 1110, 1111, 10000, 10001…

这些数看起来似乎很大，但实际上并不是这样的。准确地说，二进制数的长度增长得很快而非数值增大得快：

人类的头的个数是 $1_{\text{TEN}}$ 或 $1_{\text{TWO}}$ ；

海豚身上鳍的个数是 $2_{\text{TEN}}$ 或 ${10}_{\text{TWO}}$ ；

一个大汤匙中的小茶匙的数目为 $3_{\text{TEN}}$ 或 ${11}_{\text{TWO}}$ ；

正方形的边数是 $4_{\text{TEN}}$ 或 ${100}_{\text{TWO}}$ ；

人类一只手的手指数是 $5_{\text{TEN}}$ 或 ${101}_{\text{TWO}}$ ；

昆虫的腿数是 $6_{\text{TEN}}$ 或 ${110}_{\text{TWO}}$ ；

一周中的天数是 $7_{\text{TEN}}$ 或 ${111}_{\text{TWO}}$ ；

八重奏中演奏者的人数是 $8_{\text{TEN}}$ 或 ${1000}_{\text{TWO}}$ ；

银河系中行星（包括冥王星）的总数是 $9_{\text{TEN}}$ 或 ${1001}_{\text{TWO}}$ ；

牛仔帽的重量以加仑计算为 ${10}_{\text{TEN}}$ 或 ${1010}_{\text{TWO}}$ 。

在一个多位二进制数中，数字的位置和2的整数次幂的对应关系为：

因此，任何一个以 1 开头而后面全是 0 的二进制数，一定都是 2 的整数次幂。幂指数就等于这个二进制数中 0 的个数。

以下是 2 的各整数次幂的扩展表，它可以用来说明这条规则。

$$\begin{array}{|ccccc|}\hline \mathbf{\text{Power of Two}}& \mathbf{\text{Decimal}}& \mathbf{\text{Octal}}& \mathbf{\text{Quaternary}}& \mathbf{\text{Binary}}\\ 2^0& 1& 1& 1& 1\\ 2^1& 2& 2& 2& 10\\ 2^2& 4& 4& 10& 100\\ 2^3& 8& 10& 20& 1000\\ 2^4& 16& 20& 100& 10000\\ 2^5& 32& 40& 200& 100000\\ 2^6& 64& 100& 1000& 1000000\\ 2^7& 128& 200& 2000& 10000000\\ 2^8& 256& 400& 10000& 100000000\\ 2^9& 512& 1000& 20000& 1000000000\\ 2^{10}& 1024& 2000& 100000& 10000000000\\ 2^{11}& 2048& 4000& 200000& 100000000000\\ 2^{12}& 4096& 10000& 1000000& 1000000000000\\ \hline\end{array}$$

假定有一个二进制数 $101101011010$，它可以写成：

$$\begin{array}{rl}{101101011010}_{\text{TWO}}=& 1\times {2048}_{\text{TEN}}+\\ & 0\times {1024}_{\text{TEN}}+\\ & 1\times {512}_{\text{TEN}}+\\ & 1\times {256}_{\text{TEN}}+\\ & 0\times {128}_{\text{TEN}}+\\ & 1\times {64}_{\text{TEN}}+\\ & 0\times {32}_{\text{TEN}}+\\ & 1\times {16}_{\text{TEN}}+\\ & 1\times 8_{\text{TEN}}+\\ & 0\times 4_{\text{TEN}}+\\ & 1\times 2_{\text{TEN}}+\\ & 0\times 1_{\text{TEN}}\end{array}$$

同样也可以用下面这种方式表示：

$$\begin{array}{rl}{101101011010}_{\text{TWO}}=& 1\times 2^{11}+\\ & 0\times 2^{10}+\\ & 1\times 2^9+\\ & 1\times 2^8+\\ & 0\times 2^7+\\ & 1\times 2^6+\\ & 0\times 2^5+\\ & 1\times 2^4+\\ & 1\times 2^3+\\ & 0\times 2^2+\\ & 1\times 2^1+\\ & 0\times 2^0\end{array}$$

如果将各个部分以十进制数的形式相加，会得到 $2048+512+256+64+16+8+2$，即 $2,{906}_{\text{TEN}}$。

为了更简明、更便捷地将二进制数转换为十进制数，你可能会更喜欢借助我准备的模板来进行转换：

这个模板可以将一个数转换最大长度为8的二进制数，但是它很容易扩展。在使用模板的时候，将8位二进制数填入到上面一行的格子里，每个格子一位。做8个乘法运算，然后将结果填入到下面一行的8个小格子里。再将这8个格子中的数相加就会得到最终结果。下面就举例说明如何得到与二进制数 $10010110$ 相等的十进制数。

将十进制数转换成二进制数就没那么直接了。下面是一个能够帮你将 0～255 范围内的十进制数转换为二进制数的模板。

这个转换实际上比看上去要麻烦得多，因此一定要仔细地按照下面的指导来操作。将整个十进制数（小于或等于 255）填入到上面一行最左端的格子中。用第一个除数（128）去除这个数。所得的商填入正下方的格子（左下角的格子），余数填入右边的格子（上面一行左数第二个格子）。用第一个余数再除以下一个除数 64。依照模板的顺序用同样的方法继续进行下去。

要记住，每次求得的商只能是 0 或者 1。如果被除数小于除数，商为 0，余数就是被除数。如果被除数大于或等于除数，那么商为 1，余数就是被除数减去除数所得之差。下面以 150 为例进行转换。

如果需要对两个二进制数进行加法或乘法，直接运算可能会比转换成十进制再进行运算要简单些。这将是你真正喜欢二进制数的地方。想象一下，如果你记住了如下表格，掌握加法将是一件多么迅速的事情啊。

$$\begin{array}{|ccc|}\hline \mathbf{+}& \mathbf{0}& \mathbf{1}\\ \mathbf{0}& 0& 1\\ \mathbf{1}& 1& 10\\ \hline\end{array}$$

让我们用这个表格来计算两个二进制数的和：

从最右一列开始：1 加 0 等于 1。右边第二列：0 加 1 等于 1。第三列：1 加 1 等于 0，进 1。第四列：1（进位） 加 0 加 0 等于 1。第五列：0 加 1 等于 1。第六列：1 加 1 等于 0，进 1。第七列：1（进位） 加 1 加 0 等于 10。

乘法表甚至比加法表还要简单，因为该表可以由两个基本的乘法规则推导出来：任何数乘以 0 结果都为 0，任何数乘以 1，结果都是这个数本身。

$$\begin{array}{|ccc|}\hline \times & \mathbf{0}& \mathbf{1}\\ \mathbf{0}& 0& 0\\ \mathbf{1}& 0& 1\\ \hline\end{array}$$

以下是 ${13}_{\text{TEN}}$ 与 ${11}_{\text{TEN}}$ 的二进制乘法运算过程：

结果为 ${143}_{\text{TEN}}$ 。

人们在使用二进制数的时候通常将它们写成带有前导零的形式（即第一个 1 的左边有零）。例如 $0011$，而不是写做 $11$。这样写不会改变数字的大小，仅仅是为了美观。例如，以下是前 16 个二进制数以及与它们等价的十进制数。

$$\begin{array}{|cc|}\hline \mathbf{\text{Binary}}& \mathbf{\text{Decimal}}\\ 0000& 0\\ 0001& 1\\ 0010& 2\\ 0011& 3\\ 0100& 4\\ 0101& 5\\ 0110& 6\\ 0111& 7\\ 1000& 8\\ 1001& 9\\ 1010& 10\\ 1011& 11\\ 1100& 12\\ 1101& 13\\ 1110& 14\\ 1111& 15\\ \hline\end{array}$$

让我们再看一下这一列二进制数。仔细考虑这 4 个垂直列中每一列的 1 和 0，注意它们在一列中自上而下是以怎样的规律交替的。

• 最右边的一列一直在 0 和 1 之间交替。
• 右数第二列是在每两个 0 和两个 1 之间相互交替。
• 下一列是在每四个 0 和每四个 1 之间相互交替。
• 再下一列是在每八个 0 和每八个 1 之间相互交替。

这是很有条理的，难道不是么？事实上，只要再重复这 16 个数字并且在每个数字的前面加一个 1 就可以很容易地写出后面的 16 个数字。

$$\begin{array}{|cc|}\hline \mathbf{\text{Binary}}& \mathbf{\text{Decimal}}\\ 10000& 16\\ 10001& 17\\ 10010& 18\\ 10011& 19\\ 10100& 20\\ 10101& 21\\ 10110& 22\\ 10111& 23\\ 11000& 24\\ 11001& 25\\ 11010& 26\\ 11011& 27\\ 11100& 28\\ 11101& 29\\ 11110& 30\\ 11111& 31\\ \hline\end{array}$$

从另外一种角度来看：当以二进制计数的时候，最右边的一位（最低位）以 0 和 1 交替。每当该位由 1 变为 0，从右边数的第二位（次低位）也随之改变——不是由 0 变到 1，就是由 1 变到 0。因此，每次只要有一个二进制数位的值由 1 变到 0，紧挨着的高位数字也会发生变化，而且其变化不是由 0 到 1 就是由 1 到 0。

在书写一个比较大的十进制数的时候，通常在每三位数字之间用一个逗号隔开，这样会让人很清楚地读出数字的大小。例如，当你看到数字 12000000 时，你可能不得不去数一下其中 0 的个数才知道这个数是多少，但是，如果数字写做 12,000,000，你一眼就会知道它是一千二百万。

二进制数的位长度增加得特别快。例如，一千二百万在二进制中应表示为：
101101110001101100000000。为了让二进制数更易读，通常在每四个数字之间用一个连字符来分开，例如，1011-0111-0001-1011-0000-0000，或者每四位空出一个空格：1011 0111 0001 1011 0000 0000。本书的后面，我们将看到更简单的二进制数的表示方法。

通过将数字系统减少至只有 0 和 1 两个数字的二进制数字系统，我们已经讨论得足够深入。不可能再找到比二进制数字系统更简单的数字系统了。此外，二进制数字系统还在算术与电子技术之间架起了一座桥梁。在之前的章节中，我们所看到的开关、电线、灯泡，还有继电器等物体，都可以用来表示二进制数 0 和 1。

电线可以表示二进制数字。如果有电流流过这根电线就代表二进制数字 1，如果没有，则代表二进制数字 0。

开关可以表示二进制数字。如果开关接通（或闭合）就代表二进制数字 1，如果开关关断（或断开），则代表二进制数字 0。

灯泡可以表示二进制数字。如果灯泡点亮，就代表二进制数字 1，如果没点亮，则代表二进制数字 0。

电报继电器可以表示二进制数字。如果继电器闭合，就代表二进制数字 1，如果断开，则代表二进制数字 0。

二进制数与计算机之间有着紧密的联系。

大约在 1948 年，美国数学家约翰·威尔德·特克（John Wilder Turkey，生于 1915 年）就意识到随着计算机的普及，二进制数很可能会在未来发挥更重要的作用。他决定创造一个新的、更短的词语来代替使用起来很不方便的五音节词——binary digit。他曾经考虑使用 bigit 和 binit，但是最终他还是选用了这个短小、简单、精巧而且非常可爱的词——bit。